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Curvas de Bezier, B-Spline y Fractales

Curvas de Bézier

Destacamos este elemento de dibujo de Inkscape ya que las herramientas de dibujo libre que incorporan la mayoría de programas vectoriales se basan en este concepto para el trazado de líneas curvas.

Este tipo de curvas fue desarrollado por Pierre Bézier por encargo de la empresa de automóviles Renault™ que buscaba una representación matemática para definir las transiciones suaves en la curvatura de las líneas de sus automóviles.

Curvas Bézier

Se generan a partir de funciones polinómicas de grado tres[1] que permiten la representación de cualquier forma curvada y evitan la complicación innecesaria de cálculos matemáticos que se produciría usando polinomios de mayor grado.

Cualquier trazado de estas características está definido por una serie de puntos por los que pasa la curva y otros exteriores a ella que definen sus puntos de inflexión, es decir, aquellos en que cambia de curvatura, pasando de cóncava a convexa o viceversa.

Manejadores de la curva

En un trazado Bézier existen "manejadores" en cada uno de sus nodos de manera que se puede alterar la curvatura a voluntad para adaptar el trazo a cualquier forma imaginable, controlando la suavidad de las zonas de transición.

Curvas de B-Spline

En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline o Basis spline (o traducido una línea polinómica suave básica), es una función spline que tiene el mínimo soporte con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio. Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición.​ El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica. Las B-splines pueden ser evaluadas de una manera numéricamente estable por el algoritmo de Boor. De un modo simplificado, se han creado variantes potencialmente más rápidas que el algoritmo de Boor, pero adolecen comparativamente de una menor estabilidad.

En el subcampo de la informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones spline, que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior). Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede evitar el fenómeno Runge sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline

Curvas de Fractales

La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.

Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.  

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:

• Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito
• Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.

Resumen de las propiedades de los fractales:

• Dimensión no entera.
  Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.
• Compleja estructura a cualquier escala.
  Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.
• Infinitud.
  Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
• Autosimilitud en algunos casos.
  Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Fuentes:

http://www.grimaldos.es/cursos/imgdig/x947.html

https://es.wikipedia.org/wiki/B-spline

http://webs.um.es/jmz/DiseGrafSimula/alumnos_08_09/german_ros/index.files/fractal1_Intro%201.html

Traslación, Rotación y Escalación

Introducción

Todo cuerpo representado en un plano puede sufrir varios tipos de transformaciones en su estructura. Las transformaciones de tipo básico, como pueden ser la traslación, Escalación y rotación de objetos. 

Un objeto definido se construye a partir de una serie de puntos coordenados, desde los cuales se pueden aplicar diversas fórmulas para realizar un cambio de la figura.


Traslación, Rotación, Escalación

Traslación

Se pueden encontrar varias definiciones de traslación. Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra. 

Movimiento de una figura, sin rotarla ni voltearla. "Deslizar".

La figura sigue viéndose exactamente igual, solo que en un lugar diferente.

Se aplica una transformación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. 

Ejemplos:

Rotación

Para rotar un objeto (en este caso bidimensional), se ha de determinar la cantidad de grados en la que ha de rotarse la figura. Para ello, y sin ningún tipo de variación sobre la figura, la cantidad de ángulo ha de ser constante sobre todos los puntos.

Otra forma de conseguir la rotación, respecto a un punto de movimiento, es fijar los diferentes puntos respecto a un punto de fijación siendo los puntos que forman la figura, relativos a este.

La fórmula a aplicar en este último supuesto, sería la siguiente:

X' = X * Cos (àngulo) - Y * Sin (ángulo)

Y' = Y * Cos (ángulo) - X * Sin (ángulo)

Ejemplos:

Escalación

Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación.

Dependiendo del factor de escalación el objeto sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor, o menor en su segmento de longitud. Esta es la transformación del objeto especialmente interesante, pues con ella se consigue el efecto Zoom. 

Ejemplos:

Fuentes:

http://graficasmotul.blogspot.mx/2009/09/traslacion-rotacion-y-escalacion.html

Ejemplo de Graficación - Geogebra

Tipos de Imagenes

BMP

Windows bitmap (.BMP) es un formato de imagen de mapa de bits, propio del sistema operativo Microsoft Windows. Puede guardar imágenes de 24 bits (16,7 millones de colores), 8 bits (256 colores) y menos. Puede darse a estos archivos una compresión sin pérdida de calidad: la compresión RLE (Run-length encoding).

JPG

jpg son las siglas de Joint Photographic Experts Group, el nombre del grupo que creó este formato. jpg es un formato de compresión de imágenes, tanto en color como en escala de grises, con alta calidad (a todo color).

Se considera que el formato jpg es mejor para fotografía digital mientras que los formatos .gif y .png son mejor para imágenes gráficas.

La mayoría de los exploradores actuales soportan este formato.

PNG

Portable Network Graphics (PNG) (siglas en inglés de Gráficos de Red Portátiles, pronunciadas "ping") es un formato gráfico basado en un algoritmo de compresión sin pérdida para bitmaps no sujeto a patentes. Este formato fue desarrollado en buena parte para solventar las deficiencias del formato GIF y permite almacenar imágenes con una mayor profundidad de contraste y otros importantes datos.

GIF

Graphics Interchange Format (GIF) (Compuserve GIF) (traducido al español como Formato de Intercambio de Gráficos), es un formato gráfico utilizado ampliamente en la World Wide Web, tanto para imágenes como para animaciones.

El formato fue creado por CompuServe en 1987 para dotar de un formato de imagen en color para sus áreas de descarga de archivos, sustituyendo su temprano formato RLE en blanco y negro. GIF llegó a ser muy popular porque podía usar el algoritmo de compresión LZW (Lempel Ziv Welch) para realizar la compresión de la imagen, que era más eficiente que el algoritmo Run-length encoding (RLE) usado por los formatos PCX y MacPaint. Por lo tanto, imágenes de gran tamaño podían ser descargadas en un razonable periodo de tiempo, incluso con módems muy lentos.

GIF es un formato sin pérdida de calidad para imágenes con hasta 256 colores, limitados por una paleta restringida a este número de colores. Por ese motivo, con imágenes con más de 256 colores (profundidad de color superior a 8), la imagen debe adaptarse reduciendo sus colores, produciendo la consecuente pérdida de calidad.

Tendencias de la graficación

Transcripción de Tendencias de la graficación en el futuro

Gráficos por ordenador.

Es el campo de la informática visual donde se estudia el conjunto de técnicas que permiten la representación bidimensional o tridimensional de los objetos de cualquier área en la computadora.

• Realidad Aumentada.

Tecnología que mezcla la realidad y a esta le añade lo virtual. 

Se compone de:

● Monitor de computadora.

● Cámara Web.

● Software.

● Marcadores.

• INTELIGENCIA ARTIFICIAL.

Se refiere a la elaboración de software por parte de las grandes casas, motores gráficos han salido al mercado para distintos dispositivos de mucho poder.

• Tecnología holográfica.

Técnica avanzada de fotografía, que consiste en crear imágenes tridimensionales. Para esto se utiliza un rayo láser, que graba microscópicamente una película fotosensible. Ésta, al recibir la luz desde la perspectiva adecuada, proyecta una imagen en tres dimensiones. 

• Renderizado

El renderizado es el proceso de convertir datos en formas visuales.

• Tendencias de la graficación en el futuro.

Aplicaciones:

● Vídeo

● Juegos de computadora

● Aplicaciones científicas

● Aplicaciones y software para ingeniería

● Educación y entretenimiento

● Arte (cine, entre otros)

• Realidad virtual.

Es un mundo virtual realizado por computadora.

• Inmersión total

Se consigue mediante dispositivos periféricos como cascos de realidad virtual y gafas.

• Semi-Inmersión:

Se interactúa con el mundo pero no se está sumergido completamente en él, como ejemplo, los videojuegos.

• Aplicaciones.

● Gráficos 2D (fuentes, interfaces de usuario) 

●Gráficos 3D (visualización científica, visualización de productos, efectos especiales, juegos, aplicaciones web 3D)

• Programas de visualización en tiempo real.

Con la visualización en tiempo real no hace falta renderizar. Proporciona “plantillas” o texturas que pueden ser utilizadas en modelos.

• Programas: 

- Quixel,
- Unity
- Sketchup.

• Impresora 3D.

Realizan un modelo 3D de la figura que se quiere imprimir y se manda a la impresora, que la va sacando superponiendo capas de material. 

• Project Morpheus.

Desde 1997, Sony ha buscado desarrollar un dispositivo de realidad virtual para el público. El el casco de Project Morpheus es uno de los más cómodos. .

• Oculus Rift.

Las Oculus crean una experiencia de realidad virtual tan real e inmersiva que viene acompañada de problemas como mareos, náuseas o dolores de cabeza e incluso confusión entre la realidad y la ficción para nuestro querido cerebro. 

Oculus dispone de dos pantallas OLED para cada uno de los ojos. Y un sistema de seguimiento para saber por donde te estás moviendo.

• Motores gráficos.

Software usado por aplicaciones y programas para dibujar gráficos en la pantalla de nuestro ordenador.

• Aplicaciones.

Entrenamiento de pilotos, astronautas, soldados, etc...

• Medicina educativa, por ejemplo para la simulación de operaciones

• CAD (diseños asistido por ordenador). 

Permite ver e interactuar con objetos antes de ser creados, con el evidente ahorro de costes. Creación de entornos virtual (museos, tiendas, aulas, etc...).

}

• Tratamiento de fobias. (aerofobia, aracnofobia, claustrofobia, etc..)

• Juegos, Cine 3D y todo tipo de entretenimiento.

• Animación CGI.

Aplicación del campo de gráficos realizados por computadoras (por computación gráfica, o mediante gráficos en tres dimensiones -3D- por computadora) para la creación, entre muchas otras cosas, de efectos especiales. Los programas que más se usan para generar animaciones son Cinema 4D y Adobe After Effects.

Áreas de aplicación de la graficación

Aplicaciones

Se puede observar que la graficación por computadora o animación se puede aplicar en:

Visualización científica.

Diseño industrial.

Comunicación.

Análisis: topografía, espacio, movimiento actores, medicina, huellas digitales, matrículas, robótica, fotografía, posicionamiento automático, etc.

Síntesis: publicidad, cine, artes gráficas, ingeniería, investigación científica, interfaces de máquinas, entrenamiento de operadores (sistemas y vehículos)

Áreas de diseño para optimizar la geometría.

Visualización de micro-estructuras de moléculas complejas.

Diagnóstico médico apoyado fuertemente por las imágenes tridimensionales que representan el interior del cuerpo humano.

Los simuladores visuales avanzados crean los mundos virtuales del realismo imponente y son utilizados por la industria del  entretenimiento.

En el área de educación, se presentan nuevos métodos de interacción basados en ambientes virtuales. Donde se están introduciendo los métodos multimedia e hipertexto para mejorar las actitudes hacia el aprendizaje de los alumnos de edades tempranas.

Cartografía. La Informática Gráfica se utiliza para producir representaciones fiables y esquemáticas defenómenos naturales a partir de datos capturados con sensores. Como ejemplo podemos pensaren los mapas de relieve o de vegetación que se obtienen a partir de datos transmitidos por lossatélites.

Medicina. La Informática Gráfica está jugando un papel cada vez más importante en campos como ladiagnosis médica y cirugía. A través de imágenes el médico diagnostica enfermedades y el cirujanoes capaz de realizar intervenciones quirúrgicas con menores riesgos.

Diseño Asistido por Ordenador. En CAD el usuario usa gráficos interactivos para diseñar componentes y sistemas de dispositivosmecánicos, eléctricos y de otros tipos.

Sistemas Multimedia. Como su propio nombre indica, la multimedia implica el uso de más de un medio decomunicación. Por supuesto uno de ellos es el medio visual y es aquí donde la Informática Gráfica juega un papel primordial.

Arte por ComputadoraLos métodos de Informática Gráfica se utilizan de forma generalizada tanto en aplicaciones debellas artes como en aplicaciones de arte comercial y publicidad. La mayoría de ilustraciones queencontramos en las revistas, carátulas de discos etc, se realizan con paquetes informáticos deDiseño Gráfico. 

Entretenimiento. En la actualidad se utilizan comúnmente los métodos de Informática Gráfica en la produccion de cine, videojuegos etc.

Generación de gráficos. Se utilizan para crear logos ampliables a voluntad así como en el diseño técnico con programas de tipo CAD (Computer Aided Design). Muy populares para generar escenas3D

Fuentes:

http://graficacionheribertojesus.blogspot.mx/p/61-instalar-evaluar-los-principales.html